时间复杂度

运行时间可以直观且准确地反映算法的效率。如果我们想要准确预估一段代码的运行时间，应该如何操作呢？

确定运行平台，包括硬件配置、编程语言、系统环境等，这些因素都会影响代码的运行效率。
评估各种计算操作所需的运行时间，例如加法操作 + 需要 1 ns ，乘法操作 * 需要 10 ns ，打印操作 print() 需要 5 ns 等。
统计代码中所有的计算操作，并将所有操作的执行时间求和，从而得到运行时间。

例如在以下代码中，输入数据大小为 \(n\) ：

PythonGoJSC

# 在某运行平台下
def algorithm(n: int):
    a = 2      # 1 ns
    a = a + 1  # 1 ns
    a = a * 2  # 10 ns
    # 循环 n 次
    for _ in range(n):  # 1 ns
        print(0)        # 5 ns

// 在某运行平台下
func algorithm(n int) {
    a := 2     // 1 ns
    a = a + 1  // 1 ns
    a = a * 2  // 10 ns
    // 循环 n 次
    for i := 0; i < n; i++ {  // 1 ns
        fmt.Println(a)        // 5 ns
    }
}

// 在某运行平台下
function algorithm(n) {
    var a = 2; // 1 ns
    a = a + 1; // 1 ns
    a = a * 2; // 10 ns
    // 循环 n 次
    for(let i = 0; i < n; i++) { // 1 ns ，每轮都要执行 i++
        console.log(0); // 5 ns
    }
}

// 在某运行平台下
void algorithm(int n) {
    int a = 2;  // 1 ns
    a = a + 1;  // 1 ns
    a = a * 2;  // 10 ns
    // 循环 n 次
    for (int i = 0; i < n; i++) {   // 1 ns ，每轮都要执行 i++
        printf("%d", 0);            // 5 ns
    }
}

根据以上方法，可以得到算法运行时间为 \(6n + 12\) ns ：

\[ 1 + 1 + 10 + (1 + 5) \times n = 6n + 12 \]

但实际上，统计算法的运行时间既不合理也不现实。首先，我们不希望将预估时间和运行平台绑定，因为算法需要在各种不同的平台上运行。其次，我们很难获知每种操作的运行时间，这给预估过程带来了极大的难度。

统计时间增长趋势

时间复杂度分析统计的不是算法运行时间，而是算法运行时间随着数据量变大时的增长趋势。

“时间增长趋势”这个概念比较抽象，我们通过一个例子来加以理解。假设输入数据大小为 \(n\) ，给定三个算法函数 A、B 和 C ：

PythonGoJSC

# 算法 A 的时间复杂度：常数阶
def algorithm_A(n: int):
    print(0)
# 算法 B 的时间复杂度：线性阶
def algorithm_B(n: int):
    for _ in range(n):
        print(0)
# 算法 C 的时间复杂度：常数阶
def algorithm_C(n: int):
    for _ in range(1000000):
        print(0)

// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
func algorithm_A(n int) {
    fmt.Println(0)
}
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
func algorithm_B(n int) {
    for i := 0; i < n; i++ {
        fmt.Println(0)
    }
}
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
func algorithm_C(n int) {
    for i := 0; i < 1000000; i++ {
        fmt.Println(0)
    }
}

// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
function algorithm_A(n) {
    console.log(0);
}
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
function algorithm_B(n) {
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        console.log(0);
    }
}
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
function algorithm_C(n) {
    for (let i = 0; i < 1000000; i++) {
        console.log(0);
    }
}

// 算法 A 的时间复杂度：常数阶
void algorithm_A(int n) {
    printf("%d", 0);
}
// 算法 B 的时间复杂度：线性阶
void algorithm_B(int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        printf("%d", 0);
    }
}
// 算法 C 的时间复杂度：常数阶
void algorithm_C(int n) {
    for (int i = 0; i < 1000000; i++) {
        printf("%d", 0);
    }
}

下图展示了以上三个算法函数的时间复杂度。

算法 A 只有 \(1\) 个打印操作，算法运行时间不随着 \(n\) 增大而增长。我们称此算法的时间复杂度为“常数阶”。
算法 B 中的打印操作需要循环 \(n\) 次，算法运行时间随着 \(n\) 增大呈线性增长。此算法的时间复杂度被称为“线性阶”。
算法 C 中的打印操作需要循环 \(1000000\) 次，虽然运行时间很长，但它与输入数据大小 \(n\) 无关。因此 C 的时间复杂度和 A 相同，仍为“常数阶”。

相较于直接统计算法运行时间，时间复杂度分析有哪些特点呢？

时间复杂度能够有效评估算法效率。例如，算法 B 的运行时间呈线性增长，在 \(n > 1\) 时比算法 A 更慢，在 \(n > 1000000\) 时比算法 C 更慢。事实上，只要输入数据大小 \(n\) 足够大，复杂度为“常数阶”的算法一定优于“线性阶”的算法，这正是时间增长趋势所表达的含义。
时间复杂度的推算方法更简便。显然，运行平台和计算操作类型都与算法运行时间的增长趋势无关。因此在时间复杂度分析中，我们可以简单地将所有计算操作的执行时间视为相同的“单位时间”，从而将“计算操作的运行时间的统计”简化为“计算操作的数量的统计”，这样以来估算难度就大大降低了。
时间复杂度也存在一定的局限性。例如，尽管算法 A 和 C 的时间复杂度相同，但实际运行时间差别很大。同样，尽管算法 B 的时间复杂度比 C 高，但在输入数据大小 \(n\) 较小时，算法 B 明显优于算法 C 。在这些情况下，我们很难仅凭时间复杂度判断算法效率的高低。当然，尽管存在上述问题，复杂度分析仍然是评判算法效率最有效且常用的方法。

函数渐近上界

给定一个输入大小为 \(n\) 的函数：

PythonGoJSC

def algorithm(n: int):
    a = 1      # +1
    a = a + 1  # +1
    a = a * 2  # +1
    # 循环 n 次
    for i in range(n):  # +1
        print(0)        # +1

func algorithm(n int) {
    a := 1      // +1
    a = a + 1   // +1
    a = a * 2   // +1
    // 循环 n 次
    for i := 0; i < n; i++ {   // +1
        fmt.Println(a)         // +1
    }
}

function algorithm(n) {
    var a = 1; // +1
    a += 1; // +1
    a *= 2; // +1
    // 循环 n 次
    for(let i = 0; i < n; i++){ // +1（每轮都执行 i ++）
        console.log(0); // +1
    }
}

void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +1
    a = a + 1;  // +1
    a = a * 2;  // +1
    // 循环 n 次
    for (int i = 0; i < n; i++) {   // +1（每轮都执行 i ++）
        printf("%d", 0);            // +1
    }
}

设算法的操作数量是一个关于输入数据大小 \(n\) 的函数，记为 \(T(n)\) ，则以上函数的的操作数量为：

\[ T(n) = 3 + 2n \]

\(T(n)\) 是一次函数，说明其运行时间的增长趋势是线性的，因此它的时间复杂度是线性阶。

我们将线性阶的时间复杂度记为 \(O(n)\) ，这个数学符号称为「大 \(O\) 记号 big-\(O\) notation」，表示函数 \(T(n)\) 的「渐近上界 asymptotic upper bound」。

时间复杂度分析本质上是计算“操作数量函数 \(T(n)\)”的渐近上界，其具有明确的数学定义。

函数渐近上界

若存在正实数 \(c\) 和实数 \(n_0\) ，使得对于所有的 \(n > n_0\) ，均有 \(T(n) \leq c \cdot f(n)\) ，则可认为 \(f(n)\) 给出了 \(T(n)\) 的一个渐近上界，记为 \(T(n) = O(f(n))\) 。

如下图所示，计算渐近上界就是寻找一个函数 \(f(n)\) ，使得当 \(n\) 趋向于无穷大时，\(T(n)\) 和 \(f(n)\) 处于相同的增长级别，仅相差一个常数项 \(c\) 的倍数。

推算方法

渐近上界的数学味儿有点重，如果你感觉没有完全理解，也无须担心。因为在实际使用中，我们只需要掌握推算方法，数学意义就可以逐渐领悟。

根据定义，确定 \(f(n)\) 之后，我们便可得到时间复杂度 \(O(f(n))\) 。那么如何确定渐近上界 \(f(n)\) 呢？总体分为两步：首先统计操作数量，然后判断渐近上界。

第一步：统计操作数量

针对代码，逐行从上到下计算即可。然而，由于上述 \(c \cdot f(n)\) 中的常数项 \(c\) 可以取任意大小，因此操作数量 \(T(n)\) 中的各种系数、常数项都可以被忽略。根据此原则，可以总结出以下计数简化技巧。

忽略 \(T(n)\) 中的常数项。因为它们都与 \(n\) 无关，所以对时间复杂度不产生影响。
省略所有系数。例如，循环 \(2n\) 次、\(5n + 1\) 次等，都可以简化记为 \(n\) 次，因为 \(n\) 前面的系数对时间复杂度没有影响。
循环嵌套时使用乘法。总操作数量等于外层循环和内层循环操作数量之积，每一层循环依然可以分别套用第 1. 点和第 2. 点的技巧。

给定一个函数，我们可以用上述技巧来统计操作数量。

PythonGoJSC

def algorithm(n: int):
    a = 1      # +0（技巧 1）
    a = a + n  # +0（技巧 1）
    # +n（技巧 2）
    for i in range(5 * n + 1):
        print(0)
    # +n*n（技巧 3）
    for i in range(2 * n):
        for j in range(n + 1):
            print(0)

func algorithm(n int) {
    a := 1     // +0（技巧 1）
    a = a + n  // +0（技巧 1）
    // +n（技巧 2）
    for i := 0; i < 5 * n + 1; i++ {
        fmt.Println(0)
    }
    // +n*n（技巧 3）
    for i := 0; i < 2 * n; i++ {
        for j := 0; j < n + 1; j++ {
            fmt.Println(0)
        }
    }
}

function algorithm(n) {
    let a = 1;  // +0（技巧 1）
    a = a + n;  // +0（技巧 1）
    // +n（技巧 2）
    for (let i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
        console.log(0);
    }
    // +n*n（技巧 3）
    for (let i = 0; i < 2 * n; i++) {
        for (let j = 0; j < n + 1; j++) {
            console.log(0);
        }
    }
}

void algorithm(int n) {
    int a = 1;  // +0（技巧 1）
    a = a + n;  // +0（技巧 1）
    // +n（技巧 2）
    for (int i = 0; i < 5 * n + 1; i++) {
        printf("%d", 0);
    }
    // +n*n（技巧 3）
    for (int i = 0; i < 2 * n; i++) {
        for (int j = 0; j < n + 1; j++) {
            printf("%d", 0);
        }
    }
}

以下公式展示了使用上述技巧前后的统计结果，两者推出的时间复杂度都为 \(O(n^2)\) 。

\[ \begin{aligned} T(n) & = 2n(n + 1) + (5n + 1) + 2 & \text{完整统计 (-.-|||)} \newline & = 2n^2 + 7n + 3 \newline T(n) & = n^2 + n & \text{偷懒统计 (o.O)} \end{aligned} \]

第二步：判断渐近上界

时间复杂度由多项式 \(T(n)\) 中最高阶的项来决定。这是因为在 \(n\) 趋于无穷大时，最高阶的项将发挥主导作用，其他项的影响都可以被忽略。

下表展示了一些例子，其中一些夸张的值是为了强调“系数无法撼动阶数”这一结论。当 \(n\) 趋于无穷大时，这些常数变得无足轻重。

表不同操作数量对应的时间复杂度

操作数量 \(T(n)\)	时间复杂度 \(O(f(n))\)
\(100000\)	\(O(1)\)
\(3n + 2\)	\(O(n)\)
\(2n^2 + 3n + 2\)	\(O(n^2)\)
\(n^3 + 10000n^2\)	\(O(n^3)\)
\(2^n + 10000n^{10000}\)	\(O(2^n)\)

常见类型

设输入数据大小为 \(n\) ，常见的时间复杂度类型如下图所示（按照从低到高的顺序排列）。

\[ \begin{aligned} O(1) < O(\log n) < O(n) < O(n \log n) < O(n^2) < O(2^n) < O(n!) \newline \text{常数阶} < \text{对数阶} < \text{线性阶} < \text{线性对数阶} < \text{平方阶} < \text{指数阶} < \text{阶乘阶} \end{aligned} \]

常数阶 \(O(1)\)

常数阶的操作数量与输入数据大小 \(n\) 无关，即不随着 \(n\) 的变化而变化。

在以下函数中，尽管操作数量 size 可能很大，但由于其与输入数据大小 \(n\) 无关，因此时间复杂度仍为 \(O(1)\) ：

PythonGoJSC

def constant(n: int) -> int:
    """常数阶"""
    count = 0
    size = 100000
    for _ in range(size):
        count += 1
    return count

/* 常数阶 */
func constant(n int) int {
    count := 0
    size := 100000
    for i := 0; i < size; i++ {
        count++
    }
    return count
}

/* 常数阶 */
function constant(n) {
    let count = 0;
    const size = 100000;
    for (let i = 0; i < size; i++) count++;
    return count;
}

/* 常数阶 */
int constant(int n) {
    int count = 0;
    int size = 100000;
    int i = 0;
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        count++;
    }
    return count;
}

线性阶 \(O(n)\)

线性阶的操作数量相对于输入数据大小 \(n\) 以线性级别增长。线性阶通常出现在单层循环中：

PythonGoJSC

def linear(n: int) -> int:
    """线性阶"""
    count = 0
    for _ in range(n):
        count += 1
    return count

/* 线性阶 */
func linear(n int) int {
    count := 0
    for i := 0; i < n; i++ {
        count++
    }
    return count
}

/* 线性阶 */
function linear(n) {
    let count = 0;
    for (let i = 0; i < n; i++) count++;
    return count;
}

/* 线性阶 */
int linear(int n) {
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        count++;
    }
    return count;
}

遍历数组和遍历链表等操作的时间复杂度均为 \(O(n)\) ，其中 \(n\) 为数组或链表的长度：

PythonGoJSC

def array_traversal(nums: list[int]) -> int:
    """线性阶（遍历数组）"""
    count = 0
    # 循环次数与数组长度成正比
    for num in nums:
        count += 1
    return count

/* 线性阶（遍历数组） */
func arrayTraversal(nums []int) int {
    count := 0
    // 循环次数与数组长度成正比
    for range nums {
        count++
    }
    return count
}

/* 线性阶（遍历数组） */
function arrayTraversal(nums) {
    let count = 0;
    // 循环次数与数组长度成正比
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        count++;
    }
    return count;
}

/* 线性阶（遍历数组） */
int arrayTraversal(int *nums, int n) {
    int count = 0;
    // 循环次数与数组长度成正比
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        count++;
    }
    return count;
}

值得注意的是，输入数据大小 \(n\) 需根据输入数据的类型来具体确定。比如在第一个示例中，变量 \(n\) 为输入数据大小；在第二个示例中，数组长度 \(n\) 为数据大小。

平方阶 \(O(n^2)\)

平方阶的操作数量相对于输入数据大小 \(n\) 以平方级别增长。平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环都为 \(O(n)\) ，因此总体为 \(O(n^2)\) ：

PythonGoJSC

def quadratic(n: int) -> int:
    """平方阶"""
    count = 0
    # 循环次数与数组长度成平方关系
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            count += 1
    return count

/* 平方阶 */
func quadratic(n int) int {
    count := 0
    // 循环次数与数组长度成平方关系
    for i := 0; i < n; i++ {
        for j := 0; j < n; j++ {
            count++
        }
    }
    return count
}

/* 平方阶 */
function quadratic(n) {
    let count = 0;
    // 循环次数与数组长度成平方关系
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        for (let j = 0; j < n; j++) {
            count++;
        }
    }
    return count;
}

/* 平方阶 */
int quadratic(int n) {
    int count = 0;
    // 循环次数与数组长度成平方关系
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < n; j++) {
            count++;
        }
    }
    return count;
}

下图对比了常数阶、线性阶和平方阶三种时间复杂度。

以冒泡排序为例，外层循环执行 \(n - 1\) 次，内层循环执行 \(n-1\)、\(n-2\)、\(\dots\)、\(2\)、\(1\) 次，平均为 \(n / 2\) 次，因此时间复杂度为 \(O((n - 1) n / 2) = O(n^2)\) 。

PythonGoJSC

def bubble_sort(nums: list[int]) -> int:
    """平方阶（冒泡排序）"""
    count = 0  # 计数器
    # 外循环：未排序区间为 [0, i]
    for i in range(len(nums) - 1, 0, -1):
        # 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
        for j in range(i):
            if nums[j] > nums[j + 1]:
                # 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                tmp: int = nums[j]
                nums[j] = nums[j + 1]
                nums[j + 1] = tmp
                count += 3  # 元素交换包含 3 个单元操作
    return count

/* 平方阶（冒泡排序） */
func bubbleSort(nums []int) int {
    count := 0 // 计数器
    // 外循环：未排序区间为 [0, i]
    for i := len(nums) - 1; i > 0; i-- {
        // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
        for j := 0; j < i; j++ {
            if nums[j] > nums[j+1] {
                // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                tmp := nums[j]
                nums[j] = nums[j+1]
                nums[j+1] = tmp
                count += 3 // 元素交换包含 3 个单元操作
            }
        }
    }
    return count
}

/* 平方阶（冒泡排序） */
function bubbleSort(nums) {
    let count = 0; // 计数器
    // 外循环：未排序区间为 [0, i]
    for (let i = nums.length - 1; i > 0; i--) {
        // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
        for (let j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                let tmp = nums[j];
                nums[j] = nums[j + 1];
                nums[j + 1] = tmp;
                count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
            }
        }
    }
    return count;
}

/* 平方阶（冒泡排序） */
int bubbleSort(int *nums, int n) {
    int count = 0; // 计数器
    // 外循环：未排序区间为 [0, i]
    for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
        // 内循环：将未排序区间 [0, i] 中的最大元素交换至该区间的最右端
        for (int j = 0; j < i; j++) {
            if (nums[j] > nums[j + 1]) {
                // 交换 nums[j] 与 nums[j + 1]
                int tmp = nums[j];
                nums[j] = nums[j + 1];
                nums[j + 1] = tmp;
                count += 3; // 元素交换包含 3 个单元操作
            }
        }
    }
    return count;
}

指数阶 \(O(2^n)\)

生物学的“细胞分裂”是指数阶增长的典型例子：初始状态为 \(1\) 个细胞，分裂一轮后变为 \(2\) 个，分裂两轮后变为 \(4\) 个，以此类推，分裂 \(n\) 轮后有 \(2^n\) 个细胞。

下图和以下代码模拟了细胞分裂的过程，时间复杂度为 \(O(2^n)\) 。

PythonGoJSC

def exponential(n: int) -> int:
    """指数阶（循环实现）"""
    count = 0
    base = 1
    # 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
    for _ in range(n):
        for _ in range(base):
            count += 1
        base *= 2
    # count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
    return count

/* 指数阶（循环实现）*/
func exponential(n int) int {
    count, base := 0, 1
    // 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
    for i := 0; i < n; i++ {
        for j := 0; j < base; j++ {
            count++
        }
        base *= 2
    }
    // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
    return count
}

/* 指数阶（循环实现） */
function exponential(n) {
    let count = 0,
        base = 1;
    // 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        for (let j = 0; j < base; j++) {
            count++;
        }
        base *= 2;
    }
    // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
    return count;
}

/* 指数阶（循环实现） */
int exponential(int n) {
    int count = 0;
    int bas = 1;
    // 细胞每轮一分为二，形成数列 1, 2, 4, 8, ..., 2^(n-1)
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int j = 0; j < bas; j++) {
            count++;
        }
        bas *= 2;
    }
    // count = 1 + 2 + 4 + 8 + .. + 2^(n-1) = 2^n - 1
    return count;
}

在实际算法中，指数阶常出现于递归函数中。例如在以下代码中，其递归地一分为二，经过 \(n\) 次分裂后停止：

PythonGoJSC

def exp_recur(n: int) -> int:
    """指数阶（递归实现）"""
    if n == 1:
        return 1
    return exp_recur(n - 1) + exp_recur(n - 1) + 1

/* 指数阶（递归实现）*/
func expRecur(n int) int {
    if n == 1 {
        return 1
    }
    return expRecur(n-1) + expRecur(n-1) + 1
}

/* 指数阶（递归实现） */
function expRecur(n) {
    if (n === 1) return 1;
    return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}

/* 指数阶（递归实现） */
int expRecur(int n) {
    if (n == 1)
        return 1;
    return expRecur(n - 1) + expRecur(n - 1) + 1;
}

指数阶增长非常迅速，在穷举法（暴力搜索、回溯等）中比较常见。对于数据规模较大的问题，指数阶是不可接受的，通常需要使用动态规划或贪心等算法来解决。

对数阶 \(O(\log n)\)

与指数阶相反，对数阶反映了“每轮缩减到一半”的情况。设输入数据大小为 \(n\) ，由于每轮缩减到一半，因此循环次数是 \(\log_2 n\) ，即 \(2^n\) 的反函数。

下图和以下代码模拟了“每轮缩减到一半”的过程，时间复杂度为 \(O(\log_2 n)\) ，简记为 \(O(\log n)\) 。

PythonGoJSC

def logarithmic(n: float) -> int:
    """对数阶（循环实现）"""
    count = 0
    while n > 1:
        n = n / 2
        count += 1
    return count

/* 对数阶（循环实现）*/
func logarithmic(n float64) int {
    count := 0
    for n > 1 {
        n = n / 2
        count++
    }
    return count
}

/* 对数阶（循环实现） */
function logarithmic(n) {
    let count = 0;
    while (n > 1) {
        n = n / 2;
        count++;
    }
    return count;
}

/* 对数阶（循环实现） */
int logarithmic(float n) {
    int count = 0;
    while (n > 1) {
        n = n / 2;
        count++;
    }
    return count;
}

与指数阶类似，对数阶也常出现于递归函数中。以下代码形成了一个高度为 \(\log_2 n\) 的递归树：

PythonGoJSC

def log_recur(n: float) -> int:
    """对数阶（递归实现）"""
    if n <= 1:
        return 0
    return log_recur(n / 2) + 1

/* 对数阶（递归实现）*/
func logRecur(n float64) int {
    if n <= 1 {
        return 0
    }
    return logRecur(n/2) + 1
}

/* 对数阶（递归实现） */
function logRecur(n) {
    if (n <= 1) return 0;
    return logRecur(n / 2) + 1;
}

/* 对数阶（递归实现） */
int logRecur(float n) {
    if (n <= 1)
        return 0;
    return logRecur(n / 2) + 1;
}

对数阶常出现于基于分治策略的算法中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。它增长缓慢，是仅次于常数阶的理想的时间复杂度。

\(O(\log n)\) 的底数是多少？

准确来说，“一分为 \(m\)”对应的时间复杂度是 \(O(\log_m n)\) 。而通过对数换底公式，我们可以得到具有不同底数的、相等的时间复杂度：

\[ O(\log_m n) = O(\log_k n / \log_k m) = O(\log_k n) \]

也就是说，底数 \(m\) 可以在不影响复杂度的前提下转换。因此我们通常会省略底数 \(m\) ，将对数阶直接记为 \(O(\log n)\) 。

线性对数阶 \(O(n \log n)\)

线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为 \(O(\log n)\) 和 \(O(n)\) 。相关代码如下：

PythonGoJSC

def logarithmic(n: float) -> int:
    """对数阶（循环实现）"""
    count = 0
    while n > 1:
        n = n / 2
        count += 1
    return count

/* 对数阶（循环实现）*/
func logarithmic(n float64) int {
    count := 0
    for n > 1 {
        n = n / 2
        count++
    }
    return count
}

/* 对数阶（循环实现） */
function logarithmic(n) {
    let count = 0;
    while (n > 1) {
        n = n / 2;
        count++;
    }
    return count;
}

/* 对数阶（循环实现） */
int logarithmic(float n) {
    int count = 0;
    while (n > 1) {
        n = n / 2;
        count++;
    }
    return count;
}

下图展示了线性对数阶的生成方式。二叉树的每一层的操作总数都为 \(n\) ，树共有 \(\log_2 n + 1\) 层，因此时间复杂度为 \(O(n \log n)\) 。

主流排序算法的时间复杂度通常为 \(O(n \log n)\) ，例如快速排序、归并排序、堆排序等。

阶乘阶 \(O(n!)\)

阶乘阶对应数学上的“全排列”问题。给定 \(n\) 个互不重复的元素，求其所有可能的排列方案，方案数量为：

\[ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 2 \times 1 \]

阶乘通常使用递归实现。如下图和以下代码所示，第一层分裂出 \(n\) 个，第二层分裂出 \(n - 1\) 个，以此类推，直至第 \(n\) 层时停止分裂：

PythonGoJSC

def factorial_recur(n: int) -> int:
    """阶乘阶（递归实现）"""
    if n == 0:
        return 1
    count = 0
    # 从 1 个分裂出 n 个
    for _ in range(n):
        count += factorial_recur(n - 1)
    return count

/* 阶乘阶（递归实现） */
func factorialRecur(n int) int {
    if n == 0 {
        return 1
    }
    count := 0
    // 从 1 个分裂出 n 个
    for i := 0; i < n; i++ {
        count += factorialRecur(n - 1)
    }
    return count
}

/* 阶乘阶（递归实现） */
function factorialRecur(n) {
    if (n === 0) return 1;
    let count = 0;
    // 从 1 个分裂出 n 个
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        count += factorialRecur(n - 1);
    }
    return count;
}

/* 阶乘阶（递归实现） */
int factorialRecur(int n) {
    if (n == 0)
        return 1;
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        count += factorialRecur(n - 1);
    }
    return count;
}

请注意，因为当 \(n \geq 4\) 时恒有 \(n! > 2^n\) ，所以阶乘阶比指数阶增长得更快，在 \(n\) 较大时也是不可接受的。

最差、最佳、平均时间复杂度

算法的时间效率往往不是固定的，而是与输入数据的分布有关。假设输入一个长度为 \(n\) 的数组 nums ，其中 nums 由从 \(1\) 至 \(n\) 的数字组成，每个数字只出现一次；但元素顺序是随机打乱的，任务目标是返回元素 \(1\) 的索引。我们可以得出以下结论。

当 nums = [?, ?, ..., 1] ，即当末尾元素是 \(1\) 时，需要完整遍历数组，达到最差时间复杂度 \(O(n)\) 。
当 nums = [1, ?, ?, ...] ，即当首个元素为 \(1\) 时，无论数组多长都不需要继续遍历，达到最佳时间复杂度 \(\Omega(1)\) 。

“最差时间复杂度”对应函数渐近上界，使用大 \(O\) 记号表示。相应地，“最佳时间复杂度”对应函数渐近下界，用 \(\Omega\) 记号表示：

PythonGoJSC

def random_numbers(n: int) -> list[int]:
    """生成一个数组，元素为: 1, 2, ..., n ，顺序被打乱"""
    # 生成数组 nums =: 1, 2, 3, ..., n
    nums = [i for i in range(1, n + 1)]
    # 随机打乱数组元素
    random.shuffle(nums)
    return nums

def find_one(nums: list[int]) -> int:
    """查找数组 nums 中数字 1 所在索引"""
    for i in range(len(nums)):
        # 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
        # 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
        if nums[i] == 1:
            return i
    return -1

/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
func randomNumbers(n int) []int {
    nums := make([]int, n)
    // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
    for i := 0; i < n; i++ {
        nums[i] = i + 1
    }
    // 随机打乱数组元素
    rand.Shuffle(len(nums), func(i, j int) {
        nums[i], nums[j] = nums[j], nums[i]
    })
    return nums
}

/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
func findOne(nums []int) int {
    for i := 0; i < len(nums); i++ {
        // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
        // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
        if nums[i] == 1 {
            return i
        }
    }
    return -1
}

// 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱
function randomNumbers(n) {
    const nums = Array(n);
    // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = i + 1;
    }
    // 随机打乱数组元素
    for (let i = 0; i < n; i++) {
        const r = Math.floor(Math.random() * (i + 1));
        const temp = nums[i];
        nums[i] = nums[r];
        nums[r] = temp;
    }
    return nums;
}

/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
function findOne(nums) {
    for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
        // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
        // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
        if (nums[i] === 1) {
            return i;
        }
    }
    return -1;
}

/* 生成一个数组，元素为 { 1, 2, ..., n }，顺序被打乱 */
int *randomNumbers(int n) {
    // 分配堆区内存（创建一维可变长数组：数组中元素数量为 n ，元素类型为 int ）
    int *nums = (int *)malloc(n * sizeof(int));
    // 生成数组 nums = { 1, 2, 3, ..., n }
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        nums[i] = i + 1;
    }
    // 随机打乱数组元素
    for (int i = n - 1; i > 0; i--) {
        int j = rand() % (i + 1);
        int temp = nums[i];
        nums[i] = nums[j];
        nums[j] = temp;
    }
    return nums;
}

/* 查找数组 nums 中数字 1 所在索引 */
int findOne(int *nums, int n) {
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        // 当元素 1 在数组头部时，达到最佳时间复杂度 O(1)
        // 当元素 1 在数组尾部时，达到最差时间复杂度 O(n)
        if (nums[i] == 1)
            return i;
    }
    return -1;
}

值得说明的是，我们在实际中很少使用最佳时间复杂度，因为通常只有在很小概率下才能达到，可能会带来一定的误导性。而最差时间复杂度更为实用，因为它给出了一个效率安全值，让我们可以放心地使用算法。

从上述示例可以看出，最差或最佳时间复杂度只出现于“特殊的数据分布”，这些情况的出现概率可能很小，并不能真实地反映算法运行效率。相比之下，平均时间复杂度可以体现算法在随机输入数据下的运行效率，用 \(\Theta\) 记号来表示。

对于部分算法，我们可以简单地推算出随机数据分布下的平均情况。比如上述示例，由于输入数组是被打乱的，因此元素 \(1\) 出现在任意索引的概率都是相等的，那么算法的平均循环次数就是数组长度的一半 \(n / 2\) ，平均时间复杂度为 \(\Theta(n / 2) = \Theta(n)\) 。

但对于较为复杂的算法，计算平均时间复杂度往往是比较困难的，因为很难分析出在数据分布下的整体数学期望。在这种情况下，我们通常使用最差时间复杂度作为算法效率的评判标准。

为什么很少看到 \(\Theta\) 符号？

可能由于 \(O\) 符号过于朗朗上口，我们常常使用它来表示平均时间复杂度。但从严格意义上看，这种做法并不规范。在本书和其他资料中，若遇到类似“平均时间复杂度 \(O(n)\)”的表述，请将其直接理解为 \(\Theta(n)\) 。